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上海財經大學經濟學院《高級微觀經濟學》題庫3

上海財經大學經濟學院《高級微觀經濟學》題庫3

作業二
作業上交日期:

1.需求
考慮一個只有三個商品的經濟。假設消費者對兩種商品的需求函數是 x1 ( p, w) =

p2 , p3

x2 ( p, w) = ?

p1 。消費者的需求函數滿足瓦爾拉斯法則。 p3

(1)求他對第三種商品的需求函數; (2)此需求函數 x ( p , w) 是不是零次齊次的? (3)此需求函數 x ( p , w) 是否滿足顯示偏好弱公理?

2. 效用最大化與支出最小化
假設消費者的偏好可以用以下效用函數表示 u(x1,/x2)= x1 (x2+c) ,其中 c>0 是給定的參數 (1) 畫出一組表示該偏好的無差異曲線; (2) 計算該消費者的馬歇爾需求函數; (3) 計算該消費者的間接效用函數和支出函數;

3. 間接效用函數
假設 u 是一個效用函數,而 v 是對應的間接效用函數。 證明:(1)對于所有的價格向量 p >> 0 和可行的消費束 x >> 0 ,都有 v ( p , px ) ≥ u ( x ) ; (2)是否總是存在一個價格向量 p 使得 v ( p , px ) = u ( x ) ?如果是,請證明,如果 不是請舉一個反例。

4. 斯勒茨基方程
在一個有三個商品的經濟中,消費者擁有財富 w ,他對第一、二種商品的需求函數為:

x1 = 100 ? 5

p p w p1 p w + β 2 +δ ; x2 = α + β 1 + γ 2 + δ 。 p3 p3 p3 p3 p3 p3

其中,這些希臘字母代表非零的常數。 (1)怎樣求第三種商品的需求函數? (2)第一,第二種商品的需求函數是齊次的嗎? (3)如果這些需求函數是由效用最大化得到的,那么這些希臘字母滿足怎樣的要求?

5. 斯勒茨基方程
(1)證明 pσ(p.u)=0.其中 p=(p1, p2,.., pn), σ(p.u)是一個理性的消費者的 Slutskty 替代矩 陣; (2)下面的矩陣是某一理性消費者的替代矩陣。價格分別為 p1 = 1 , p2 = 2 , p3 = 6 。 求矩陣中剩余的幾個位置的值。

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? ?10 ? ? ? ? ? ?4 ? ? ? ? ? 3 ? ?? ? ?

6. 最優化分析:應用
假設有兩個人,一男一女,分別記為 m 和 f ,男女工資率分別為 wm 和 w f 。每個人都有 1 單位的勞動稟賦,每個人除了工資收入沒有其他收入來源,各自的效用函數為:

U i = ln Ci + ln li + α i ln n

i = f ,m

其中, Ci 和 li 分別表示個人 i 的私人消費和閑暇時間, n 為孩子數量。 α i 表示 i 對孩子的 偏好系數。 (1) 考慮一個單身問題,此時 α i = 0 ,寫出個人 i = f , m 的預算約束,并計算最優配置以 及相應的效用水平。 (個人消費和閑暇總支出不超過個人稟賦價值,令消費品價格為 1, 仔細考慮閑暇的價格) (2) 考慮一個家庭決策問題,假設兩個人組成家庭,家庭通過選擇 (C f , l f , Cm , lm , n) 來最 大化家庭福利水平:

? = θ [ln C f + ln l f + α f ln n] + (1 ? θ )[ln Cm + ln lm + α m ln n]
期中 θ 表示婦女在家庭中的地位。 所以, 生育 n 個孩 假設生育孩子一個需要耗費女性和男性的時間分別為 τ f = τ > τ m = 0 。

子降耗費女性是 τ n 單位時間。 a) 請寫出家庭的預算約束(家庭消費和閑暇總支出不超過家庭稟賦價值,令消費品價 格為 1,注意生育孩子所耗費時間對稟賦價值的影響) ; (C f , l f , Cm , lm , n) ; b) 計算家庭的最優配置 c) 分析在什么情況下,女性家庭地位的提高將會降低孩子數量。

閱讀相關文獻討論: (1)Iyigun and Walsh (2007)假設家庭是根據最大化目標函數?進 行決策的,其基本假設是什么?有什么合理性?文獻還有那些家庭決策模型? (2)在 Iyigun and Walsh (2007)中孩子數量 n 直接進入效用函數。如何看待這一 假設的合理性?這與中國傳統上“養兒防老”說法是否有差異? 參考文獻: Iyigun, Murat and Randall P. Walsh. 2007, “Endogenous gender power, household labor supply and the demographic transition”, Journal of Development Economics 82 (2007) 138– 155.

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